Question

组合数公式推导Cnm = n! / [(n-m)! * m!]

Answer 1

定理(1)二项式系数和等于2^n
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
定理2:奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
①
令x=-1得
Cn0-Cn1x+Cn2x^2-Cn3x^3+…+Cnn(-x)^n=0
②
由②得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…
所以奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
再代入①得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2^(n-1)

Answer 2

这是等差数列的公式
a2-a1=d
a3-a2=d
...
an-a(n-1)=d
全部加起来
an-a1=(n-1)d
通项公式为an=a1+(n-1)d
am=a1+(m-1)d
相减an=am+(n-m)d