Question

为什么向量组组线性相关，延长向量组就线性相关

Answer 1

（1）线性无关向量的延长向量必然线性无关
（2）向量线性相关或线性无关的定义如下：
有向量组a:
a1,
a2,
···,
am,（m大于等于1）
向量a1=(a11
,
a12,
···
,
a1s),
···
,向量am=（am1
,
am2
,
···
,
ams）
如果存在不全为零的数
k1,
k2,
···,km
,
使
k1
a1+
k2
a2+
···
+
km
am=
0
(式1)
则称向量组a是线性相关的,
否则称它是线性无关.
由(式1)可以得到方程组如下：
k1
a11+
k2
a21+···
+
km
am1=
0
k1
a12+
k2
a22+
···
+
km
am2=
0
···
···
k1
a1s
+
k2
a2s+
···
+
km
ams=
0
（方程组2）
向量组a1,a2,a3,
···
,am线性无关的充分必要条件是对应的齐次线性方程组只有零解.
即（方程组2）的解只有k1=k2=···
=km=
0
此时如果延长向量
,
相当于在（方程组2）中添加了几个方程
,
即对未知量k1、k2、
km多了一些约束,故仍然只有零解，k1=k2=
···
=km=
0
所以延长向量后，向量组仍线性无关.
例如：向量b1（1，2，3）和向量b2（2，4，7）线性无关，
无论向量b1和b2如何延长，都无法改变前三个坐标数值的线性无关性，延长向量仍
线性无关

Answer 2

比如5个向量组成的向量组线性相关，就说明这5个向量中有向量能够被其它向量线性表出，以后无论增加多少向量，所组成的向量组中也【一定】有（因为原来就有）向量能被其它向量线性表出，由《线性相关》的定义，这个《延长向量组》就线性相关。