Question

lim(x趋向于0) f(x)-f(-x)/x 存在 且函数在x=0出连续，为什么f（0）=0？

Answer 1

题目是lim[f(x)-f(-x)]/x
存在吧
?举个例子：f(x)=x+1,那么f(-x)=-x+1。
lim[f(x)-f(-x)]/x=lim2x/x=2,极限存在。而并没有f（0）=0。
恐怕你是忽略了其他条件。
题目若是lim
f(x)-[f(-x)/x]
存在,那就很好办了。左式=f(0)-lim[f(-x)/x]存在，
易得limf(-x)=f（0）=0

Answer 2

利用导数的定义
f'(x0)=lim
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
....极限过程为x→x0
于是lim[
f(x0-x)-f(x0)]/x...................令t=x0-x，当x→0时有t→x0
=lim
[f(t)-f(x0)]/[x0-t]
=-lim
[f(t)-f(x0)]/[t-x0].....极限过程为t→x0
=-f'(x0)