Question

求e^tanx-e^x关于　x的阶

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

e^tanx－e^x＝e^x×[e^(tanx-x)－1]
x→0时，e^(tanx-x)－1等价于tanx－x，设tanx－x是x的k阶无穷小，则
lim(x→0)
(tanx-x)/x^k存在且非零，由洛必达法则
lim(x→0)
(tanx-x)/x^k＝lim(x→0)
(sinx-xcosx)/(cosx×x^k)＝lim(x→0)
(sinx-xcosx)/x^k＝lim(x→0)
(xsinx)/(k×x^(k-1))＝lim(x→0)
(x×x)/(k×x^(k-1))＝1/k×lim(x→0)
x^(3-k)
此极限要存在且非零，则3－k＝0，所以k＝3.
所以，tanx－x是x的3阶无穷小
所以，lim(x→0)
[e^tanx－e^x]/x^3＝1/3.
所以，x→0时，e^tanx－e^x是x的
3
阶无穷小

Answer 3

当x-->0时，e^tanx-e^x=e^x(e^(tanx-x)-1)与tanx-x等价。而
lim(x-->0)(tanx-x)/x^3
=lim(x-->0)(sec^2x-1)/(3x^2)
=lim(x-->0)[(1-cosx)/(3x^2)]*lim(x-->0)(1+cosx)/cos^2x]
=2lim(x-->0)(1/2)x^2/(3x^2)
(1-cosx与1/2x^2等价)
=1/3.
所以e^tanx-e^x是x^3的同阶无穷小.
即e^tanx-e^x是X的3阶无穷
小.