Question

一元二次同余方程求解 （简单的数论问题） x^2+3x+1≡0(mod 7) x^2+3x+1≡0(mod 35)

Answer 1

x^2+3x+1≡0(mod
7)
解：等效于
xx-4x+1==0
xx-4x+4==3==(x-2)^2
计算(3/7)=-1，即3不是7的二次剩余。
故原同余式无解。
或者，取y=0,+-(1,2,3)，算得yy==0,1,4,2
mod
7亦即无解。
x^2+3x+1≡0(mod
35)
解：此式等效于
x^2+3x+1≡0(mod
7)
(即上一题)
且
x^2+3x+1≡0(mod
5)
上一题无解，从而此题亦无解。

Answer 2

证明同余方程x^2+3x+1≡0(mod
7)无解：
x^2+3x+1≡0(mod
7)，x^2+3x+1-7x≡0(mod
7),(x-2)^2≡3(mod
7),
对所有整数n，n≡0,±1,±2,±3(mod
7)，对应n^2≡0,1,4,2(mod
7),
所以方程(x-2)^2≡3(mod
7)无解，从而原方程无解，得证。