Question

在小数0.738231693450的小数部分添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数，已知小数点后第100位上的数字

Answer 1

在小数0.738231693450……添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数，已知小数点后第100位上的数字是3，这个循环小数是（
）
1693450循环.
分析:首先一个循环点在最后的那个0的上面.
将循环节的长度计作m,第100个数是该循环节里的第n个数,计作(m,n)
如m=4时,循环部分为3450,第100个数是0,即写为(4,4)=0
这里m的取值为4、5、6、7、…、12.（这个小数共有12位小数）
则（5，3）=4
（6，4）=4
（7，4）=3
（8，4）=9
（9，7）=4
（10，8）=4
（11，11）=0
（12，4）=2
综上，可知在1和0的上面添上循环点，第100位上的数为3

Answer 2

可以设循环节长度为X，X至少为4【3450】，至多为12【738231693450】
12
-
X
得到的差就是混循环小数位数。
[100
-
(12
-
X)]
÷
X
=
(88
+
X)÷
X
=
1
+
88
÷
X
要使100位上的数字是3，则：
(1)X∈[4，7]时
当X
=
4时，88/X
余1，X
=
5时
88/X
余2，X
=
6时
88/X
余3，X
=
7时
88/X
余4
也就是
88/X
余X
-
3，即91/X
整除。
91=7×13，因此此时X
=
7
(2)X∈[8，10]时
当X
=
8时，88/X
余1或5，X
=
9时
88/X
余2或6，X
=
10时
88/X
余3或7
也就是
88/X
余X
-
7或X
-
3
，即95/X
整除或91/X
整除。91上述已分析，不含[8，10]的因数。
95=5×19，也不含[8，10]的因数。
这种情况无解。
(3)X∈[11，12]时
当X
=
11时，88/X
余1或4或8，X
=
12时
88/X
余2或5或9
也就是
88/X
余X
-
10或X
-
7或
X
-
3。余X
-
7或
X
-
3的上述已分析，范围内无解。
88/X
余X
-
10，即98/X整除
98
=
2×7^2，不含[8，10]的因数。
综上，只有循环节长度为7，循环节是【1693450】时，小数后第100位上是3。
答：是0.738231693450（1和0上面加点）。

Answer 3

设循环节长度为X，X至少为4【3450】，至多为12【738231693450】
12
-
X
得到的差就是混循环小数位数。
[100
-
(12
-
X)]
÷
X
=
(88
+
X)÷
X
=
1
+
88
÷
X
要使100位上的数字是3，则：
(1)X∈[4，7]时
当X
=
4时，88/X
余1，X
=
5时
88/X
余2，X
=
6时
88/X
余3，X
=
7时
88/X
余4
也就是
88/X
余X
-
3，即91/X
整除。
91=7×13，因此此时X
=
7
(2)X∈[8，10]时
当X
=
8时，88/X
余1或5，X
=
9时
88/X
余2或6，X
=
10时
88/X
余3或7
也就是
88/X
余X
-
7或X
-
3
，即95/X
整除或91/X
整除。91上述已分析，不含[8，10]的因数。
95=5×19，也不含[8，10]的因数。
这种情况无解。
(3)X∈[11，12]时
当X
=
11时，88/X
余1或4或8，X
=
12时
88/X
余2或5或9
也就是
88/X
余X
-
10或X
-
7或
X
-
3。余X
-
7或
X
-
3的上述已分析，范围内无解。
88/X
余X
-
10，即98/X整除
98
=
2×7^2，不含[8，10]的因数。
综上，只有循环节长度为7，循环节是【1693450】时，小数后第100位上是3。

Answer 4

设
循环节
长度为X，X至少为4【3450】，至多为12【738231693450】
12
-
X
得到的差就是
混循环小数
位数。
[100
-
(12
-
X)]
÷
X
=
(88
+
X)÷
X
=
1
+
88
÷
X
要使100位上的数字是3，则：
(1)X∈[4，7]时
当X
=
4时，88/X
余1，X
=
5时
88/X
余2，X
=
6时
88/X
余3，X
=
7时
88/X
余4
也就是
88/X
余X
-
3，即91/X
整除
。
91=7×13，因此此时X
=
7
(2)X∈[8，10]时
当X
=
8时，88/X
余1或5，X
=
9时
88/X
余2或6，X
=
10时
88/X
余3或7
也就是
88/X
余X
-
7或X
-
3
，即95/X
整除或91/X
整除。91上述已分析，不含[8，10]的因数。
95=5×19，也不含[8，10]的因数。
这种情况无解。
(3)X∈[11，12]时
当X
=
11时，88/X
余1或4或8，X
=
12时
88/X
余2或5或9
也就是
88/X
余X
-
10或X
-
7或
X
-
3。余X
-
7或
X
-
3的上述已分析，范围内无解。
88/X
余X
-
10，即98/X整除
98
=
2×7^2，不含[8，10]的因数。
综上，只有循环节长度为7，循环节是【1693450】时，小数后第100位上是3。