Question

数学分析，求一下这个幂级数的的和函数∑n²x²

Answer 1

应该是求“∑n²x^n=”?，若是，分享一种解法。设S(x)=∑x^n。n=1,2,3，……，∞。显然，S(x)的收敛区间、收敛域均为丨x丨<1。
又，在其收敛区间内，S(x)=x/(1-x)。∴S'(x)=1/(1-x)²。
而，由S(x)两边对x求导，有S'(x)=∑nx^(n-1)。∴xS'(x)=∑nx^n。两边再对x求导，[xS'(x)]'=∑n²x^(n-1)。∴∑n²x^n=x[xS'(x)]'。
∴∑n²x^n=x[xS'(x)]'=x[x/(1-x)²]'=x(1+x)/(1-x)³。其中，丨x丨<1。
供参考。