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数学分析,求一下这个幂级数的的和函数∑n²x² 30
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应该是求“∑n²x^n=”?,若是,分享一种解法。设S(x)=∑x^n。n=1,2,3,……,∞。显然,S(x)的收敛区间、收敛域均为丨x丨<1。
又,在其收敛区间内,S(x)=x/(1-x)。∴S'(x)=1/(1-x)²。
而,由S(x)两边对x求导,有S'(x)=∑nx^(n-1)。∴xS'(x)=∑nx^n。两边再对x求导,[xS'(x)]'=∑n²x^(n-1)。∴∑n²x^n=x[xS'(x)]'。
∴∑n²x^n=x[xS'(x)]'=x[x/(1-x)²]'=x(1+x)/(1-x)³。其中,丨x丨<1。
供参考。
又,在其收敛区间内,S(x)=x/(1-x)。∴S'(x)=1/(1-x)²。
而,由S(x)两边对x求导,有S'(x)=∑nx^(n-1)。∴xS'(x)=∑nx^n。两边再对x求导,[xS'(x)]'=∑n²x^(n-1)。∴∑n²x^n=x[xS'(x)]'。
∴∑n²x^n=x[xS'(x)]'=x[x/(1-x)²]'=x(1+x)/(1-x)³。其中,丨x丨<1。
供参考。
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