Question

设a1=a2=1,an+1=an+an-1,(n=2,3,...),(1)求幂级数∑anx^n的和函数

Answer 1

答案是x/1-x-x^2，详情如图所示

Answer 2

fn(-1)
=
a1(-1)^1
+
a2(-1)^2+......+an(-1)^n
=
n(-1)^n
fn-1(-1)
=
a1(-1)^1
+
a2(-1)^2+......+an-1(-1)^(n-1)=(n-1)(-1)^(n-1)
上减下得an(-1)^n=(2n-1)(-1)^n
an=2n-1
带入1,2,3,a1=1,a2=3,a3=5
数列{an}的通项公式为an=2n-1
fn(1/3)=1*1/3
+
3*(1/3)^2
+
5*(1/3)^3
+....+
2n-1*(1/3)^n
1/3*fn(1/3)=1*(1/3)^2
+
3*(1/3)^3
+....+(2n-3)*(1/3)^n
+
2n-1*(1/3)^n+1
上下错位相减得2/3*fn(1/3)=1*(1/3)
+
2*(1/3)^2
+
2*(1/3)^3
+....+2*(1/3)^n
-
2n-1*(1/3)^n+1
=1/3
-
2n-1*(1/3)^n+1
+
2[(1/3)^2
+
(1/3)^3
+....+(1/3)^n]
=1/3
-
2n-1*(1/3)^n+1
+
1/3*[1-
(1/3)^n-1]
fn(1/3)
=1
-
(n+1)*(1/3)^n
显而易见小fn(1/3)于1(因为n为1，2，3……）
所以fn(1/3)<1

Answer 3

给楼主一个思路吧。
{an}是著名的斐波那契数列！
{an}通项有两部分相加（减）而成，求和时分别求和，每部分均为等比数列前n项和。