Question

.证明(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2

∵(1+x)n(1+x)n＝(1+x)2n，比较两边xn的系数.

左边展开式中x^n的系数为：Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+Cn2Cnn-2+…+CnnCn0

＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2

右边展开式中x^2n的系数为：C2n n

从而：(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2＝C2n2=(2n)!/n!^2

这个解答我看不懂，为什么要比较X^n的二次项系数呢？请帮忙解答一下下。
我这样想的：
因为
(1+x)n的二次项系数的和 Cn0+Cn1+...+CnN=2^n
那么
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2=2^2n
怎么可以等于x^n项的系数C2nN呢？

而且x^n项的系数是Cn0CnN，Cn1CnN-1，Cn2CnN-2，…，CnNCn0其中的一个。怎么可以等于它们的和呢？

Answer 1

这个解答在最关键的地方有一处错误，所以很难理解，正确解答应为：
∵(1+x)n(1+x)n＝(1+x)2n，比较两边x^n的系数.

左边展开式中x^n的系数为：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2

右边展开式中x^n的系数为：C2nN
－（此处应为x^n而非原来的x^2n）

从而：(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2＝C2nN=(2n)!/n!^2

这个题的解题思路是先将左边两个n次因子分别计算出来（其实两个n次因子是一样的，都是（1+x)＾n），再将两个n次n+1项多项式相乘，其中能产生x^n的项共有n+1项，它们的系数之和即为：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
而右边x^n项的系数直接按多项式高次展开式公式进行计算，即为：C2nN
两边是相等的，所以它们的对应项也应该是相等的，则对应项的系数也是相等的，上面的x^n项的系数也应该是相等的，所以：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
＝C2nN
＝（2n)!/n!^2
即
(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2