Question

（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n?2n-1 （n∈N*）（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）?Cnn＜1000

（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n?2n-1 （n∈N*）（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）?Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+1n）n＜3．

Answer 1

证明：（1）记S=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
倒序则S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹ （2分）
∴2S=nc_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n?2ⁿ
∴S=n?2^n-1 …（2分）
解：（2）C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
=（C_n⁰+C_n¹+…C_nⁿ）+（C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ） （1分）
=2ⁿ+n?2^n-1＜1000
由于7?2⁶+2⁷=576＜1000＜1280=8?2⁷+2⁸，
∴n=7  …（2分）
97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰?99⁷-C₇¹?99⁶?2+…+C₇⁶?99?2⁶-C₇⁷?2⁷
∴97ⁿ除以99的余数即为-C₇⁷?2⁷除以99的余数70  （2分）
证明：（3）∵（1+

1

n

）ⁿ=c_n⁰+C_n¹?

1

n

+C_n²?(

1

n

)2+…+C_nⁿ?（

1

n

）ⁿ＞c_n⁰+C_n¹?

1

n

=2 （1分）
∵c_n⁰+C_n¹?

1

n

+C_n²?(

1

n

)2+…+C_nⁿ?（

1

n

）ⁿ
=2+

n(n?1)

2!

?

1

n2

+…+

n(n?1)(n?1)…2×1

n!

?

1

nn

＜2+

1

2!

+…+

1

n!

（2分）
＜2+

1

1×2

+…+

1

(n?1)n

=2+（1-

1

2

）+…+（

1

n?1

-

1

n

）
=3-

1

n

＜3 （2分）