Question

y=（e^x+e^-x）/2的反函数怎么求

Answer 1

应该是“求函数y=(e^x-e^(-x))/2的反函数”。解法如下。

解：∵y=(e^x-e^(-x))/2 ==>2y=e^x-e^(-x)

==>2ye^x=e^(2x)-1

==>e^(2x)-2ye^x=1

==>e^(2x)-2ye^x+y²=1+y²

==>(e^x-y)²=1+y²

==>e^x-y=±√(1+y²)

==>e^x=y±√(1+y²)

==>x=ln│y±√(1+y²)│

==>x=±ln│y+√(1+y²)│ (∵ln│y-√(1+y²)│=-ln│y+√(1+y²)│)

==>x=±ln(y+√(1+y²)) (∵y+√(1+y²)>0)

∴原函数的反函数是 x=±ln(y+√(1+y²))。

反函数性质：

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。

（6）反函数是相互的且具有唯一性。

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。

Answer 2

y^2+4=(e^x-e^(-x))^2+4
=e^(2x)-2+e^(-2x)+4
=(e^x+e^(-x))^2
√(y^2+4)=e^x+e^(-x)
y+√(y^2+4)=2e^x
x=ln{[y+√(y^2+4)]/2}
又因为y=e^x-e^(-x)所以y∈r
即其反函数为y=ln{[x+√(x^2+4)]/2}(x∈r)
注：√代表开平方运算

Answer 3

y=[e^x+e^(-x)]/2
2y
=
e^x
+
e^(-x)
2y
e^x
=
(e^x)^2
+
1
(e^x)^2
-
2y
e^x
+
1
=
0
e^x
=
[2y
±√(4y^2
-4)]/2
=
y
±√(y^2
-1)
其中
y
-√(y^2
-1)
=
1/[y
+√(y^2
-1)]
<
1/y
同时
y=[e^x+e^(-x)]/2
≥2
√[e^x
*
e^(-x)]
/2
=
1
当x
=
0
时,
y
=
1
而x
>
0
因此
y
>
1
1/y
<
1
y
-√(y^2
-1)
<
1
而x
>
0
,
e^x
>
1
因此
舍去
e^x
=
y
-√(y^2
-1)
e^x
=
y
+√(y^2
-1)
x
=
ln
[y
+√(y^2
-1)]
互换x
和
y
符号
y
=
ln
[x
-√(x^2
-1)]
其中x
>
1