Question

怎么证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2R

Answer 1

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sina=b/sinb=c/sinc=2r（2r在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
证明：
方法1.
在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
方法2.
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc＝c/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
方法3
记向量i
，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i（a+b+c）
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)
=-asinc+csina=0
接着得到正弦定理

Answer 2

先画一个圆,设半径为R,则直径为2R,过直径画一个三角形,在圆中,直径所对的角为直角,所以
sinA=a/AB,AB=2R,即sinA=a/2R,以此类推sinB=b/2R
sinC=c/2R,提出2R,即可