Question

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x<0...

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＜0时，f(x)＜0，f(1)=5. (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)求f(x)在区间[-2，3]上的值域.

Answer 1

解答:解:(1)令x=y=0得，f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，
令y=-x得，f(0)=f(x)+f(-x)，所以f(-x)=-f(x)，
所以，函数f(x)为奇函数;
(2)设x1＜x2，则x1-x2＜0，所以f(x1-x2)＜0，
则f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)＜f(x2)
所以函数f(x)为增函数;
由f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=10得，f(-2)=-10，f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=10+5=15
所以函数f(x)区间[-2，3]上的值域为[-10，15].