Question

若x+y=12,求根号(x^2+4)+根号(y^2+9)的最小值怎么做? 能不能用不等式做啊？

Answer 1

法一：
y=12-x
设点A(x,0),B(0,2),C(12,-3)
∴√(x²+4) + √(y²+9)
=√(x²+4) + √[(12-x)²+9]
=√[(x-0)²+(0-2)²] + √[(x-12)²+(0+3)²]
=|AB| + |AC|
≥|BC| = 13
原因：A点在x轴上,连接BC,根据三角形两边之和大于第三边,当A在BC与x轴交点时,
|AB| + |AC|取最小值.
法二：
柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² 　　等号成立条件：ad=bc,即a/c=b/d
根据柯西不等式,得
[√(x²+4)+√(y²+9)]²
=x²+4+y²+9+2√[(x²+4)(y²+9)]
≥x²+4+y²+9+2(xy+6)
=(x+y)²+(2+3)²
=169
当且仅当x/y=2/3,即x=24/5,y=36/5时等号成立.
∴最小值为√169=13
关于柯西不等式的证明(很简单)：
(a²+b²)(c²+d²)
=a²c² +b²d²+a²d²+b²c^²
=a²c²+2abcd+b²d² + a²d²－2abcd+b²c²
=(ac+bd)²+(ad－bc)²
≥(ac+bd)²
当且仅当ad－bc=0即ad=bc时成立