Question

ijk向量叉乘计算公式怎么记

向量的叉积计算
|i j k|
|2 -3 1| =-7i-5j-k
|1 -2 3|
这个是怎么算出来的,
关于j前系数的运算好像和其他两个不同啊，

Answer 1

将向量用坐标表示（三维向量），若向量a=(a1，b1，c1)，向量b=(a2，b2，c2)，则向量a×向量b=|ijk||a1b1c1||a2b2 c2|=(b1c2-b2c1，c1a2-a1c2，a1b2-a2b1)（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
向量c的方向与a，b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。
因此向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。
一般我们在解决立体几何题目时会选择建立坐标系，因为这样做比较保险也有固定套路。很多时候这些题目要求你计算某一个面的法向量(normal vector)，这在高中阶段也是有固定方法的，我们这里想要介绍的是一种更高级也更迅速的方法，也就是引入向量叉乘(cross product，“向量”同物理中的“矢量”概念，一直想不通为啥数学和物理用不一样的名字，英文都是vector)这一概念。

我们都学过向量的标量积，也就是所谓的点乘(dot product)，两个向量做标量积后得到的是一个标量。我们这里定义一种新的向量运算，也就是向量积或者叫叉乘:

其运算结果仍是一个向量，我们记之为向量c，它的模定义为：

其中θ为向量a和向量b的夹角，如下图所示，c的模即以a和b为两条边的平行四边形的面积。

Answer 2

一直以来，我都记不住向量叉乘的结果，每次都要查询。其根本原因在于，我没有去研究过叉乘是如何推导出来的。于是，这次想彻底解决一下。首先要感谢维基百科，它已经把所有问题都描述清楚了。

而下面的文字，只是我的读书笔记，以加深自己的印象。

首先我们知道 ，对于向量u和v, u x v的结果，是得到一个既垂直于u又垂直于v的向量,假设记作n.

则有下面公式

n = u x v;

而n的方向，是由右手法则决定的。 即伸出右手，四个手指方向从u绕到v. 此时，大姆指的方向，就是n的方向。 我们通常叫做右向量。

引用一下维基百科的图来说明问题，有兴趣的兄弟可以照图比划一下。 （注：图中向量是用的a x b来表示）

有了上面的知识，我们继续向下看。

我们假设向量 u,v,n分别用三个标量来表示。即

u = (Xu,Yu,Zu)

v = (Xv,Yv,Zv)

n = (Xn,Yn,Zn)

则，它们的关系为

Xn = Yu*Zv – Zu*Yv;

Yn = Zu*Xv – Xu*Zv;

Zn = Xu*Yv – Yu*Xv;

即 n = (Yu*Zv – Zu*Yv,Zu*Xv – Xu*Zv,Xu*Yv – Yu*Xv);

而为了验证n与u和v的垂直性，可以使用点乘进行

点乘法则比这个简单多了， u*v = (Xu*Xv + Yu*Yv + Zu*Zv) = dotUV;

如果两个向量垂直，则dotUV = 0;

代入验证一把

u*n = (Xu*(Yu*Zv – Zu*Yv) + Yu*(Zu*Xv – Xu*Zv) + Zu*(Xu*Yv – Yu*Xv));

= Xu*Yu*Zv – Xu*Zu*Yv + Yu*Zu*Xv – Yu*Xu*Zv + Zu*Xu*Yv – Zu*Yu*Xv;

把正负号的因式仔细比对一下，发现刚好可以低消。 结果为0.

v*n 同理可证。

于是，也验证了n与u,v垂直的特性。

如果只是为了应用的话，走到这一步就可以停下了。后面的知识，只是为了满足一下好奇心。

那我们就来看看，这个结论是怎么来的呢？ 我们接着来推导。

为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量。

i,j,k.

i,j,k满足以下特点

i = j x k; j = k x i; k = i x j;

k x j = –i; i x k = –j; j x i = –k;

i x i = j x j = k x k = 0; (0是指0向量）

由此可知，i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是 i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)。

Answer 3

i*(-3)*3 + j*1*1 + k*2*(-2) - k*(-3)*1 - j*2*3 - i*1*(-2) = -7i-5j-ka11*a22*a33 + a12*a23*a31 +a13*a21*a32 - a12*a21*a33 - a11*a23*a32你对着一个一个看就能看到规律了：）