Question

问一道高中数学题

若椭圆x²／a²＋y²／b²＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为f1，f2，线段f1f2被抛物线y²＝2bx
的焦点分成3∶1的两段。过点c（－1，0）且以向量a=（1，k）（k≠0）为方向向量的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且满足向量AC＝2向量CB.
（1）求椭圆的离心率
（2）当△OAB面积最大时，求椭圆的方程

Answer 1

解答，由题意，抛物线y²＝2bx的焦点坐标为（b/2，0）而该点将线段F1F2分成3∶1的两段，所有可得b/2=c/2结合a^2-b^2=c^2可求得椭圆离心率为SQR（2）/2

刚才有急事。现在接着来回答第二问。

(2)
由（1）可设椭圆方程为x^2/(2b^2)+y^2/(b^2)=1；
已知直线的方向向量为（1，k)所以直线斜率为k，
当考虑题目特点，我们不用斜截式设直线方程。
“由题意可设”过C（-1，0）的直线方程为：x=my-1（其中m不=0,如果m=0,则直线斜率不存在，而由椭圆的对称性知，不可能满足AC＝2向量CB.）， 当然，这里m=1/k ！
不妨设直线与椭圆两个交点坐标为A（x1,y1)、B(x2,y2)
联立方程：
x^2/(2b^2)+y^2/(b^2)=1
x=my-1
消x得：（m^2+2)y^2-2my+1-2b^2
由韦达定理可得：
y1+y2=2m/(m^2+2) ………………… (1)
y1y2=(1-2b^2)/(m^2+2)…………… (2)
又已知向量AC＝2向量CB.
由此可得（-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2)
所以y1=-2y2………………………… (3)
由（1）、（2）、（3）式可得b^2=(5m^2+2)/(2m^2+4)…（4）
又S△OAB=|y1-y2|/2,结合（1）、（3）式可得S△OAB=|m/(m^2+2)|变形利用均值不等式可知，当m^2=2时S△OAB最大，代入（4）式可得此时b^2=3/2,所以a^2=3
所以椭圆方程为x^2/3+2y^2/3=1

Answer 2

由焦点比例关系知道b/2=c/2 ，a^2=b^2+c^2，两式得到e=c/a=√2/2