Question

问一道高中数学题

1 三角形ABC中cosB/cosC=-b/2a+c
（1）求角B
（2）若b=根号19 ，a+c=5 求a,c

2. G为△ABC的重心，且 56sinA 乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量。求B。

Answer 1

1(1).
正弦定理 cosB/cosC=-b/(2a+c)=-sinB/(2sinA+sinC),
2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC
有 0=2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC
=2cosBsinA+sin(B+C)
=2cosBsinA+sinA
=(2cosB+1)sinA
在三角形ABC中,sinA>0
所以cosB=-1/2,得B=120°.

(2). b=根号19,a+c=5.
-1/2=cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2ac
=(25-2ac-19)/2ac
=(6-2ac)/2ac
所以6-2ac=-ac得ac=6.
由a+c=5,ac=6可得{a=3,c=2}或{a=2,c=3}.

2.（为方便，以下省略“向量”二字）
设△ABC的外接圆半径为R,对应边长为a,b,c。
已知等式两边乘以2R,由正弦定理：56aGA+40bGB+35cGC=0.
又由重心的性质和向量加法法则：3GA=BA+CA, 3GB=CB+AB, 3GC=AC+BC.
代入上式得：3{56a(BA+CA)+40b(AB+CB)+35c(AC+BC)}=0.
又CA=CB+BA, 上式化为：56a(BA+CB+BA)+40b(AB+CB)+35c(-CB-BA+BC)=0,
整理得 56a(2BA+CB)+40b(AB+CB)+35c(-BA+2BC)=0.
按BA,BC整理：(112a-40b-35c)BA+(-56a-40b+70c)BC=0
由于BA,BC均为非零向量,且不共线,故上式当且仅当其系数均为零时成立。即
112a-40b-35c=0, -56a-40b+70c=0.
==> b=7a/5, c=8a/5.
由余弦定理：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2,
==> 角B=60°.