Question

证明f(x)=x三次方在R上单调递增

Answer 1

方法一：
证明：
设任意x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）
=x1³-x2³
=（x1-x2）（x1²+x1x2+x2²）
=1/2*（x1-x2）（2x1²+2x1x2+2x2²）
=1/2*（x1-x2）（x1²+2x1x2+x2²+x1²+x2²）
=1/2*（x1-x2）【（x1+x2）²+x1²+x2²】
∵x1-x2＜0，（x1+x2）²+x1²+x2²＞0，
∴1/2*（x1-x2）【（x1+x2）²+x1²+x2²】＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R单调递增，即得证。
方法二：
证明：
对原函数求导，即y'=3x²，
∵y'=3x²在R上恒大于等于零（不恒等于零），
∴y=x³在R上单调递增。