Question

2017初三西城一模数学29题2小问求解题过程

如题

Answer 1

29 ⑵
、见上图。
设点M1与M关于
y
轴对称，M1与M'关于直线l4
x
=
b
对称；
因为M在圆上，所以M1也在圆上，y
<
1，且
M1与M'的
y
值相同。
∵
射线
y
= √3x/3，x
≥ 0， ∴
x1
= √3y；
又 ∵
y
<
1， ∴
0 ≤ x1
< √3；

∵
圆方程
x^2
+
y^2
=
1，∴
x2
= √(
1
-
y^2
)
b
=
(
x1
+
x2
)/2；为使
b
有最小值，x1、x2
应尽量小；
x1
最小为
0，x2
最小为
-1，所以
b
最小为
-
1/2，即图中蓝线。
为使
b
最大，就要求得
x1
+
x2
= √3y + √(
1
-
y^2
)的最大值。
从图中可以直观的看到，绿线再往上或最往下，x
=
b
即红线都要左移，所以
b
的最大值为
1
。
严格地数学推导我只能用导数，不知现在初三学导数没有。
[
√3y + √(
1
-
y^2
)
]'
= √3
-
y/ √(
1
-
y^2
)
=
0；
y
= √3√(
1
-
y^2
)，y^2
=
3
-
3y^2，4y^2
=
3，y^2
=
3/4，y
= √3/2；
即 y
= √3/2
时
b
有最大值。
x1
= √3
* √3/2
=
3/2；x2^2
=
1
-
3/4
=
1/4，x2
=
1/2；
b最大 =
(
3/2
+
1/2
)
/2
=
1；
∴
b
的取值范围是
[
-1/2，1
]
。