Question

已知函数f(x)=xln x.若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1，则实数a的取...

已知函数f(x)=xln x.若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1，则实数a的取值范围为(-∞，1](-∞，1].

Answer 1

解答:解:∵f(x)=xlnx，
当x≥1时，f(x)≥ax-1恒成立⇔xlnx≥ax-1(x≥1)恒成立⇔a≤lnx+
1
x
(x≥1)恒成立，
令f(x)=lnx+
1
x
，则a≤f(x)min(x≥1)恒成立;
∵f′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2
，
∴当x≥1时，f′(x)≥0，
∴f(x)=lnx+
1
x
在[1，+∞)上单调递增，
∴f(x)min=1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(-∞，1].
故答案为:(-∞，1].