Question

高数定积分：请问这一步的积分区域是怎么来的？

对t积分，为何是从0 ~ t

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Answer 1

上图是0≦t≦2π时的图像。题目要求此星形线绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积。

图像关于x轴对称，故题目只要求0≦t≦π(也就是x轴上方的部分)绕x轴旋转一周所

得旋转体的侧面积，积分限当然只取0≦t≦π。

Answer 2

是从0~π，从方程看出x,y的取值范围是[-a,+a],化为参数方程后，参数t的范围是[0,π]，对应于x的取值范围，根据题意是求取曲线绕x轴旋转后的侧面积，积分范围应该是[-a,a],对应于[0,π]

Answer 3

x^(2/3)＋y^(2/3)=a^(2/3)
曲线本身就是关于x轴对称的，绕x轴旋转所得的图形，其实就是上半部分绕x轴旋转所得的图形。
所以只需要考虑曲线上半部分即可
易得x^(2/3)≤a^(2/3)，y^(2/3)≤a^(2/3)
则x²≤a²，y²≤a²
－a≤x≤a，0≤y≤a
化成参数方程x=acos³t，y=asin³t
可得0≤t≤π

Answer 4

不是0到t，是0到π.
题目中函数的极坐标取值范围应该是0-2π，
求面积时，只需要求x轴上方的部分，即0到π的部分，然后乘以2倍即可。

Answer 5