Question

线代问题

若向量a，b，c线性无关，向量a，b，d线性相关。则
A.a必可由b，c，d线性表示
B.b必不可由a，c，d线性表示
C.d必可由a，b，c线性表示
D.d必不可由a，b，c线性表示

我觉得A.C都对。。因为既然a，b，d线性相关。那么就可以由b，d来线性表示a，只要令c前面的系数为零，则a由b，c，d线性表示了。
同理，d可由a，b线性表示，令c前的系数为零，那么d可由a，b，c线性表示了。

请问这样有错吗？

Answer 1

你的错误在于认为，如果一个向量组线性相关，则这个向量组中任一向量都可以由其它向量线性表出，这是不对的，以二维为例，我们知道0向量和任何向量a构成的向量组都线性相关，但是这个向量a是不能由0向量线性表出的。正确的定理是，如果a1,a2,,,an线性无关，a1,a2,,,an,b线性相关，则b一定可以由a1,,,an线性表出。再根据“部分相关则整体相关”，可知a,b,c,d线性相关，而a,b,c线性无关，所以d可以由a,b,c线性表出，选C。

追问

但是a，b，c，d都不是零向量。非零的相关向量一定可由其他向量线性表示吧

追答

应该可以，但题目里没说都不是零向量啊。