Question

线代问题

已知α1=1 α2=2 α3=0 β=3

4 7 1 10

0 1 -1 b

2 3 a 4
问a,b为何值时
1、β不能由α1，α2，α3线性表示
2、β可由α1，α2，α3线性表示并写出表示式
3、β可由α1，α2，α3用无穷多方式线性表示，写出一般表示式
4、向量组α1，α2，α3线性相关，并在此时求它的秩和一个最大无关组，且用一个极大无关组表示其余向量

Answer 1

解: β可由a1,a2,a3线性表示当且仅当(a1,a2,a3)X=β有解.
(a1,a2,a3,β) =
1 2 0 3
4 7 1 10
0 1 -1 b
2 3 a 4

r2-4r1,r4-2r1
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 1 -1 b
0 -1 a -2

r3+r2,r4-r2
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 0 0 b-2
0 0 a-1 0

r1+2r2,r2*(-1)
1 0 2 -1
0 1 -1 2
0 0 0 b-2
0 0 a-1 0

当b≠2(a任意)时, β不能由a1,a2,a3线性表示.

当b=2, a≠1时, β可由a1,a2,a3唯一线性表示.
此时 β = -a1+2a2.

当b=2, a=1时, β可由a1,a2,a3线性表示,且表示方式有无穷多
此时 β = -(1+2k)a1+(2+k)a2+ka3
注: 此时方程组 (a1,a2,a3)X=β 的通解为 (-1,2,0)^T+k(-2,1,1)^T=(-1-2k,2+k,k)^T

a=1时,a1,a2,a3 线性相关, 秩为2
a1,a2是一个极大无关组
a3 = 2a1-a2