已知fx=x^2+ax+3 当x∈[-1,1]时 fx>a恒成立 求a的取值范围
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答:
f(x)=x^2+ax+3,-1<=x<=1
f(x)>a恒成立
f(x)=x^2+ax+3>a
(1-x)a<=x^2+3>0恒成立
x=1时:1+a+3>a恒成立
-1<=x<1时:-1<-x<=1,0<1-x<=2
a<=(x^2+3)/(1-x)=[(1-x-1)^2+3]/(1-x)=(1-x)+4/(1-x)-2
因为:(1-x)+4/(1-x)-2>=2√[(1-x)*4/(1-x)]-2=2*2-2=2
当且仅当1-x=4/(1-x)即1-x=2时取得最小值2
所以:a<=2<=(1-x)+4/(1-x)-2
所以:a<=2
f(x)=x^2+ax+3,-1<=x<=1
f(x)>a恒成立
f(x)=x^2+ax+3>a
(1-x)a<=x^2+3>0恒成立
x=1时:1+a+3>a恒成立
-1<=x<1时:-1<-x<=1,0<1-x<=2
a<=(x^2+3)/(1-x)=[(1-x-1)^2+3]/(1-x)=(1-x)+4/(1-x)-2
因为:(1-x)+4/(1-x)-2>=2√[(1-x)*4/(1-x)]-2=2*2-2=2
当且仅当1-x=4/(1-x)即1-x=2时取得最小值2
所以:a<=2<=(1-x)+4/(1-x)-2
所以:a<=2
追问
a=2时 我验证了下 不行啊
追答
哦,是不可以:
答:
f(x)=x^2+ax+3,-1a恒成立
f(x)=x^2+ax+3>a
(1-x)a0恒成立————原来弄成了a恒成立
-1=2√[(1-x)*4/(1-x)]-2=2*2-2=2
当且仅当1-x=4/(1-x)即1-x=2时取得最小值2
所以:a<2<=(1-x)+4/(1-x)-2
所以:a<2
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fx=x^2+ax+3
当-1<=x<=1时,有f(x)-a>=0
即应有
x^2+ax+3-a>=0
(1)当判别式<=0时,成立,…………(自己解)
(2)当判别式>0时,讨论对称轴,
i)当对称轴x>=1时,方程x^2+ax+3-a=0较小的一根应>=0,
ii)当对称轴x<=-1时,方程x^2+ax+3-a=0较大的一根应>=0
iii)当对称轴-1<=x<=1时,抛物线y=x^2+ax+3-a开口向上,不可能恒大于0,故不存在这种情况
当-1<=x<=1时,有f(x)-a>=0
即应有
x^2+ax+3-a>=0
(1)当判别式<=0时,成立,…………(自己解)
(2)当判别式>0时,讨论对称轴,
i)当对称轴x>=1时,方程x^2+ax+3-a=0较小的一根应>=0,
ii)当对称轴x<=-1时,方程x^2+ax+3-a=0较大的一根应>=0
iii)当对称轴-1<=x<=1时,抛物线y=x^2+ax+3-a开口向上,不可能恒大于0,故不存在这种情况
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当对称轴-a/2<-1即a>2时
f(x)min=f(-1)=4-a>a a<2 (舍)
当-a/2>1即a<-2时
f(x)min=f(1)=4+a>a 恒成立 所以a<-2符合条件
当-1<=-a/2<=1即-2<=a<=2时
f(x)min=f(-a/2)=-a^2/4+3>=a - 6<=a<=2 所以-2<=a<=2符合条件
综上,a<=2
f(x)min=f(-1)=4-a>a a<2 (舍)
当-a/2>1即a<-2时
f(x)min=f(1)=4+a>a 恒成立 所以a<-2符合条件
当-1<=-a/2<=1即-2<=a<=2时
f(x)min=f(-a/2)=-a^2/4+3>=a - 6<=a<=2 所以-2<=a<=2符合条件
综上,a<=2
追问
f(x)min=f(-a/2)=-a^2/4+3>=a 错了fx>a没等号
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