Question

关于数学上不等式的定理，公理，还有各种推论，证明的还是未证明的都可以，从高中到大学的都要啊，求大神

如题求高手帮帮帮帮忙啊

Answer 1

柯西不等式
对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有

（x1y1+x2y2+…+xnyn)^2≤（x1^2+x2^2+…+xn^2）（y1^2+y2^2+…+yn^2）
柯西不等式的几种变形形式
1.设xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等

排序不等式
又称排序原理。

对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，
记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。
当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。

QI琴生不等式

设f(x)为凸函数，则f((x1+x2+...+xn)/n)≤[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n(下凸);
设f(x)为凹函数，则f((x1+x2+...+xn)/n)≥[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n(上凸);
称为琴生不等式。

简均值不等式
Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

性绝对值不等式
|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
两个重要性质：
1.|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b| （b≠0）
2.|a|<|b| 可逆 |b|>|a|
||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立。
另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|
| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

概基本不等式
公式：(a+b)/2≥√(ab) (a≥0,b≥0)

（当且仅当a=b时，等号成立）
变形：ab≤[(a+b)/2]² (a≥0,b≥0)

（当且仅当a=b时，等号成立）

几几何不等式
Ptolemy（托勒密）不等式
若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。（等号成立，A,B,C,D四点共圆）
Erdos（埃尔多斯）不等式
设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则：x+y+z≥2*(p+q+r)
Weitzenberk（外森比克）不等式
若a,b,c为三角形三边长，S是三角形面积,
则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S（等号成立当且仅当ABC为等边三角形）。
Euler（欧拉）不等式
设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号。
Fermat（费马）问题
在△ABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的P点称为费马点。当每个内角均小于120时，则与三边张角为120的P点为费马点。
等周不等式
①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。
②周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。

基赫尔德不等式
设S为测度空间，，及，设f在Lp(S)内，g在Lq(S)内。则f g在L1(S)内，即||fg||1<=||f||p||g||q，且有1/p+1/q=1。 若S取作{1,...,n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x1, ..., xn; y1, ..., yn，有：
(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)=< [(x1^p+x2^p+x3^p+...+xn^p)^1/p]*[(y1^p+y2^p+y3^p+...+yn^p)^1/q]
{xn},{yn}>=0[1]。 我们称p和q互为赫尔德共轭。
若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。
当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

还有很多，具体证法网上都有。

Answer 2

不等式的难点不是你知道多少定理，而是你能否在不同的大小之间找到质变，注意，不是量变。
比如我们知道a^2+b^2>=2ab
如果只是量变，那么显然我们可以假证：
(a^2+b^2)>=(t)(a^2+b^2)+(1-t)(2ab)>=2ab
其中0<t<1
所以这是不对的！因为A>(A+B)/2>B 与A>B是等价的，所以这相当于你没有做这道题。

也就是你必须要写成
a^2+b^2>=2ab
<=>
(a-b)^2>=0
才算是证明

通常情况是：
在同一个未知数上集中的指数越高，则值越大
例如:
x^3+y^3+z^3>=xxy+yyz+zzx
这是排序不等式

但是不是所有的都是这么简单：
x^3+y^3+z^3+3xyz>=xx(y+z)+yy(x+z)+zz(x+y)
这个是schur不等式，关键在于能够用x^3+y^3+z^3这个大项＋3xyz这个小项，结果还大于等于xx(y+z)+yy(x+z)+zz(x+y)这个中等大小项。

当然还有很多类似schur不等式的式子，都是很好用的

Answer 3

这是软件吧 ok？