Question

如何讨论函数在指定点处的连续性问题如图？

Answer 1

从数学上看，所谓连续即“极限值=函数值”，这一个等式包含了三个方面：

1、函数必须在该点处有定义；

2、函数必须在这个点附近存在极限；

3、是前面两点的内容必须相等，同时满足这三个条件，才叫做函数在某点处连续。

也可以这样直观理解：

直观意义就是：

两个点之间可以插入无数个点，一直插入到两个点之间没有空隙；

例如 y = x 取 x = 1，跟 x = 2 两个值，y = 1，y = 2 是它们对应的值，在这两点之间，x 可以取任何值。也就是说，我们没有任何理由 x 不取某个值。在这样的情况下，这两个点之间可以填满无数个点，把这些点连起来的图形没有断断续续的点，而是一条没有断点没有缝隙的直线。没有断点的线，无论是直线还是曲线就是连续的线。函数连续就是图形没有断点，没有缝隙，没有漏洞。

数学定义：若对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有：|f(x)-f(x0)|<ε，则称f在x0处连续若f在区间I上任一点都满足上述定义，则称f在I上连续。

Answer 2

（2）x→1+，极限不存在；x→1-，极限为1，为第二类间断点。
（3）x→0-，极限为1；x→0+，极限为-1，为第一类间断点。

追问

🙏

追答

x→1-，1/(x-1)→-∞，相当于e^(-∞)，极限为0，x²+e^(1/(x-1))极限为1
x→1+，1/(x-1)→+∞，相当于e^(+∞)，极限不存在，x²+e^(1/(x-1))极限不存在