Question

已知直线y=1/3x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将三角形AOB绕点O顺时针旋转90°后得到

COD(1)点M在CD上，且CM＝OM，抛物线y＝x^2+bx+c经过点C，M，求抛物线解析式。（2）如果点E在y轴上，且位于点C下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得C,E,F,P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）自己画画草图看看。

C点是（0,3），D点是（1,0）
△COD是直角三角形,M点在斜边CD上
因为CM=OM（1）
所以∠OCM=∠COM
又因为∠OCM+∠ODC=90°，∠COM+∠MOD=90°
所以∠MOD=∠ODC
所以△OMD也是等于三角形，所以OM=DM （2）
由（1）、（2）得OM=CM=DM
所以在Rt△ODC中，OM是斜边的中线，即M是CD中点
所以M左边是（1/2 , 3/2）
把C(0,3),M(1/2,3/2),代入抛物线y＝x^2+bx+c
得 抛物线y＝x^2-7/2x+3
(2)这题你必须先画图，模拟模拟
直线AC的方程是y=x+3

当F点在Y轴左边时，CE、FP是菱形的对角线。
所以CE,FP互相垂直平分，
因为CE在Y轴上，所以FP必与X轴平行或者重合，且点F、P关于Y轴对称
设F左边为（x，y），根据对称关系可得P为（-x，y）
把F、P左边分别代入直线AC的方程，和抛物线的方程y＝x^2-7/2x+3
y=x+3 ; y＝x^2+7/2x+3
解得x=-5/2,y=1/2 或者x=0,y=3(舍去)
所以F点为（-5/2,1/2）,P点为（5/2,1/2）
E点和C点关于FP对称，即关于y=1/2对称
所以E点为（0，-3/2）
下面先求菱形边长
根据C,F点的坐标，求得CF=5/2√2
所以菱形周长为10√2

当F点在Y轴右边时（你自己一定要画草图），CE和FP这个时候是菱形的边，不是对角线了，且CE和FP还是对边。
CE，FP互为对边，所以CEllFP
又因为CE在Y轴上，所以FP与Y轴平行。
设F为（x1,y1）,P为（x1,y2）
把F,P点左边分别代入直线和抛物线的方程
得y1=x1+3 ; y2=(x1)^2-7/2(x1)+3
边FP=y1-y2=x1+3-[(x1)^2+7/2(x1)+3]= -(x1)^2+9/2x1
边CF=√[(y1-3)^2+(x1-0)^2]=√2x1
因为菱形四条边相等
所以FP=CF，FP= -(x1)^2+9/2x1=CF=√2x1
解得x1=9/2-√2 或者0（舍去）
因为x1=0时F,P点与C点重合，显然不符合要求。
下面求边长
CF=√2x1=9/2*√2-2
周长为4CF=18√2-8

综上所述，存在为菱形的这样的四边形，它的周长为10√2或者18√2-8

Answer 2

解：（1）自己画画草图看看。

C点是（0,3），D点是（1,0）
△COD是直角三角形,M点在斜边CD上
因为CM=OM（1）
所以∠OCM=∠COM
又因为∠OCM+∠ODC=90°，∠COM+∠MOD=90°
所以∠MOD=∠ODC
所以△OMD也是等于三角形，所以OM=DM （2）
由（1）、（2）得OM=CM=DM
所以在Rt△ODC中，OM是斜边的中线，即M是CD中点
所以M左边是（1/2 , 3/2）
把C(0,3),M(1/2,3/2),代入抛物线y＝x^2+bx+c
得 抛物线y＝x^2-7/2x+3
(2)这题你必须先画图，模拟模拟
直线AC的方程是y=x+3

当F点在Y轴左边时，CE、FP是菱形的对角线。
所以CE,FP互相垂直平分，
因为CE在Y轴上，所以FP必与X轴平行或者重合，且点F、P关于Y轴对称
设F左边为（x，y），根据对称关系可得P为（-x，y）
把F、P左边分别代入直线AC的方程，和抛物线的方程y＝x^2-7/2x+3
y=x+3 ; y＝x^2+7/2x+3
解得x=-5/2,y=1/2 或者x=0,y=3(舍去)
所以F点为（-5/2,1/2）,P点为（5/2,1/2）
E点和C点关于FP对称，即关于y=1/2对称
所以E点为（0，-3/2）
下面先求菱形边长
根据C,F点的坐标，求得CF=5/2√2
所以菱形周长为10√2

当F点在Y轴右边时（你自己一定要画草图），CE和FP这个时候是菱形的边，不是对角线了，且CE和FP还是对边。
CE，FP互为对边，所以CEllFP
又因为CE在Y轴上，所以FP与Y轴平行。
设F为（x1,y1）,P为（x1,y2）
把F,P点左边分别代入直线和抛物线的方程
得y1=x1+3 ; y2=(x1)^2-7/2(x1)+3
边FP=y1-y2=x1+3-[(x1)^2+7/2(x1)+3]= -(x1)^2+9/2x1
边CF=√[(y1-3)^2+(x1-0)^2]=√2x1
因为菱形四条边相等
所以FP=CF，FP= -(x1)^2+9/2x1=CF=√2x1
解得x1=9/2-√2 或者0（舍去）
因为x1=0时F,P点与C点重合，显然不符合要求。
下面求边长
CF=√2x1=9/2*√2-2
周长为4CF=18√2-8

综上所述，存在为菱形的这样的四边形，它的周长为10√2或者18√2-8