Question

设an是单增正数列,求证:当an有上界时,级数(1-an/an+1)收敛

Answer 1

法一 当an有界时原级数写成Σ(an+1-an/an+1)而Σ(an+1-an)=an+1-a1 因为数列an有界所以上式有界且1/an单调递减（因为an递增）还<1/a1 由Abel判别法有 原级数收敛
法2 limΣ(an+1-an/an+1)<lim(an+1-a1)/a 因为an有界 所以原级数收敛

Answer 2

因为a(n)有上界，由确界公理，a（n）必有上确界，设之为M
那么对任何s>0,总存在N，使得M-s<a(N)<=M
而a（n）单增，所以对任何n>N,恒有
M-s<a(n)<=M<M+s
即|a(n)-M|<s
所以a(n)收敛，且极限为M
有极限的性质，且a(n)>0,所以a(n)+1不为0
所以[1-a(n)]/[a(n)+1]也收敛，极限为(1-M)/(1+M)
证毕

Answer 3

这是假命题啊！取a（n）＝－（1/x）＋2 级数为 ： （1-x）/（3x－1） 不收敛。。。