Question

设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b

若对任意a∈【-2，2】，不等式f(x)≤1在【-1，1】上恒成立，求b的范围。
求详细解答谢谢

Answer 1

题意要求，若对任意a∈【-2，2】等式f(x)≤1【-1，1】上恒成立
（1）当-1≤x＜0时，f（x）=x^4+ax^3+2x^2+b，
显然得，对于任意的x，当a=-2时，比a∈（-2,2]时都要大，所以有x^4-2x^3+2x^2+b≤1，
令P（x）=x^4-2x^3+2x^2+b，P’（x）=4x³-6x²+4x＜0恒成立，所以P（x）单调递减，
P（x）max=P(-1)≤1，得b≤-4
（2）当0≤x≤1时，f（x）=x^4+ax^3+2x^2+b，
显然得，对于任意的x，当a=2时，比a∈[-2,2)时都要大，所以有x^4+2x^3+2x^2+b≤1，
令Q（x）=x^4+2x^3+2x^2+b，Q’（x）=4x³+6x²+4x＜0恒成立，所以Q（x）单调递减，
Q（x）max=P(1)≤1，得b≤-4
综上，b≤-4