Question

如图，三角形ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H。

如图，三角形ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H。
（1） 求证：GH‖BC
（2） 若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH

Answer 1

分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH‖BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
(1)证 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
从而，G是AM的中点．同理可证
△ACH≌△NCH(ASA)，
从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG‖MN，即
HG‖BC．
(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，
MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
从而
MN=18-4-9=5(厘米)，
然后就知道所有答案了