Question

求幂级数∑(x-1)∧n/(n×2∧n)的收敛域

有过程的

Answer 1

　　求幂级数 Σ[(x-1)^n]/(n*2^n) 的收敛域。
　　利用比值判别法，当
　　　lim(n→∞)|u[n+1](x)/u[n](x)|
　　= lim(n→∞)|{[(x-1)^(n+1)]/[(n+1)*2^(n+1)]}/{[(x-1)^n]/(n*2^n)}|
　　= lim(n→∞)(|x-1|/2)*[(n+1)/n]
　　= |x-1|/2 < 1
时，级数收敛，故级数的收敛半径是 2，收敛区间是 (-1,3)，又易验在 x=-1 级数为 Σ[(-1)^n]/n，交错级数，是收敛的；在 x=3 级数为 Σ1/n，调和级数，是发散的，得知级数的收敛域为 [-1,3)。