Question

求助：一道高中数学竞赛题，有关集合的

题文如下：
设a1,a2,a3,…，a20是20个两两不同的整数，且集合{ai+aj|1≤i≤j≤20}中有201个不同的元素，求集合{|ai-aj||1≤i＜j≤20}中不同元素个数的最小可能值。
求高手解答！答案是100.

Answer 1

竞赛题就是转弯难，马克一下想想先

Answer 2

这题在逗我？20×19÷2=190<201。。。你懂我的意思么= =

追问

你在逗我？应该是21×20÷2=210＞201。。。你懂我的意思么==

追答

额。。不好意思开始看错题了，不过这道题也不是很难
如果|ai-aj|=|am-an|，则ai+an=aj+am or ai+am=aj+an
所以后一个集合上的某对相等的元素必映射到前一个集合上的某对相等的元素
而ai+aj=am+an，则|ai-am|=|aj-an| and |ai-an|=|aj-am|
所以前一个集合上一对相等的元素必映射到后一个集合上两对相等的元素
前一个集合有9个元素被剔除，也就是说最多有9×10÷2对元素相等（这是容易理解的，让十个和相等即可），所以后面的集合中相等的元素最多有9×10对，所以最少有190-90个元素
例子也很容易列举出来，我们不妨从小到大排序，只要它们以某一点为中心非线性对称即可，例如可以取(-10)²，(-9)²....9²,10²。。。
这里比较难以理解的是一对重复元素到一组重复元素对的转化，最后直接减去90这一点可能需要对照例子多思考一下
PS：这道题应该是数论题目吧，友情提示下数论题目一般都比较杂，或者说比较考验思维能力，想要高分的话建议复习一下前面的题目。。