Question

问一道初二几何证明题，跟全等有关系，有图片

Answer 1

很典型的一道平移问题

遇到垂直且相等，通过平移构造全等形，利用平行四边形进行转化。

如图，做AT平行BE，且AT=BD，SAS易证△TAD全等于△DBC

进而AT=BD,TD=CD，∠TDC=∠TDA+∠BDC=∠TDA+∠ATD=90°

所以等腰直角三角形，底角∠TCD=45°

又因为题目中给了45°，同位角相等两直线平行，TC平行AE。

又因为AT平行CE，所以ATCE是平行四边形，AT=CE

所以BD=CE

当然能在上面平移也可以在下面平移，楼主有兴趣可以试一试。

追问

我向下平移为什么作出不来，总是少个条件？您能解答我吗？非常非常感谢！

追答

这道题你缺少条件是因为你是直接用绿线来构造全等三角形，就导致45°的条件用不上。

这里的平移并非直接的平移，而是间接平移，先通过构造全等，然后通过证明平移（及平行四边形）来完成边的转移。

这样做也并非不行，不过要用到同一法，这是初中不讲的。

具体方法是直接构造全等三角形，如图，然后连接，并证明AE和连接的那条线是重合的。

这样有了全等之后通过等腰直角三角形得出∠PDT=45°，AE平行DT，又因为ADTM（未标明的点是M）是平行四边形，所以AM平行DT。

所以AE与AM本质上是重合的，这样CM=CE BD=CM，就能得到BD=CE

这道题可能有点特殊，向下的我看过好像没有什么特别好的方法。以后做题时如果遇到不共点的线段相等，尤其是位置关系平行或垂直，或成特殊角的时候需要由平移的思维。

追问

非常感谢您的讲解，我一开始就是用我那种方法做的三垂直，发现做不出来，用你的方法做的三垂直一下子就出来了，今后用平移的方法有什么好的建议吗？

另外我发现这几道题特别像，希望能找到更多的题练练

追答

一般来说，这种求特殊角的题都是要你把它放入特殊的三角形内来解决的。

题目中如果出现了正方形，等边三角形，或者有共点线等+角等，这就是很明显的旋转的标志。（第一题）

最典型的模型就是大角夹半角，如果你看到了一个角和这个角的半角共点，这时候的第一反应就是要旋转。（当然大角夹半角也可以翻折）

另外还有一个很常见的模型

这个模型是我自己总结的，就是在看到等腰三角形和一组等角时，第一反应也应该是旋转。

旋转的目的，就是借助已知条件，可以构造一组旋转形，而旋转就意味着等腰。如果旋转的是特殊角度，如60°，90°，这时候就会使等腰的底角成为特殊角，（30°，45°）进而就能非常容易的求出题目中的角。

至于平移，一般不会太常考，因为题型没几道，最典型的就是上面那道（第二题）。一般如果没有旋转标志，而题目中有不共点，位置特殊的相等的线段，这就是平移的标志。比如你会发现这些线段相等，但其位置不好，这时候就要用平移的方法，将不共点的线段平移，构造全等形或特殊三角形。

在做第二题的时候，首先要找到条件集中的三角形，△BDC同时包含了两组等线段和一个直角，无疑是要构造全等的三角形。至于如何构造，你会发现只要将BE和AD挪入一个三角形，就可以构造出全等形。而构造全等后就意味着等腰直角三角形，然后就可以很轻松的求出题目中的角。

所以只要能构造出与△BDC全等的三角形即可，这道题绝不只有这一种平移的方法，如果你要练习的话就找找其他的方法。

平移最常见的标志，就是有一到两组线段垂直且相等，但是不共点。观察你问的那道题和第二道题可以很容易得到平移题目的特点。

这样总结下来，三大几何变换的标志：

平移：不共点线等，位置特殊（平行，垂直）

旋转：共点线等，有等角或夹角特殊

翻折：出现角平分线或要证明角平分线

Answer 2