Question

求解一道高中数学导数题

第2小题原因尽量详细些。

Answer 1

已知函数f(x)=lnx+m/x(m∈R).

（1）当m=e时，求f(x)的极小值；

（2）讨论函数g(x)=f’(x)-x/3零点的个数；

（3）若对任意b>a>0，[f(b)-f(a)]/(b-a)<1恒成立，求m的取值范围。

(1)解析：当m=e时，f(x)=lnx+e/x，
令f′(x)=(x-e)/x^2=0==>x=e；
∴当x∈(0,e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0,e)上是减函数；
当x∈(e,+∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e,+∞)上是增函数；
∴x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+e/e=2；

(2)解析：∵函数g(x)=f′(x)-x/3=1/x-m/x^2-x/3(x＞0)，
令g(x)=0，得m=-1/3x^3+x(x＞0)；
设φ(x)=-1/3x^3+x(x≥0)，
∴φ′(x)=-x^2+1=-(x-1)(x+1)；
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上是增函数，
当x∈(1,+∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1,+∞)上是减函数；
∴φ(x)在x=1处取极大值，x=1是φ(x)的最大值点，φ(1)=2/3；
又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象，如图；

                           

可知：
当m＞2/3时，函数g(x)无零点；
当m=2/3时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0＜m＜2/3时，函数g(x)有两个零点；
当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
综上：

当m＞2/3时，函数g(x)无零点；
当m=2/3或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0＜m＜2/3时，函数g(x)有两个零点；

(3解析：∵对任意b＞a＞0，[f(b)-f(a)]/(b-a)<1恒成立，
等价于f(b)-b＜f(a)-a恒成立；
设h(x)=f(x)-x=lnx+m/x-x(x＞0)，
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减；
∵h′(x)=1/x-m/x^2-1≤0在(0,+∞)上恒成立，
∴m≥-x^2+x=-(x-1/2)^2+1/4(x＞0)，
∴m≥1/4；
对于m=1/4，h′(x)=0仅在x=1/2时成立；
∴m的取值范围是[1/4,+∞)．

追问

很好，谢谢

Answer 2