Question

设函数f(x)的定义在R上的函数,且满足对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0,f(x)>0

(1)求证：f(x)是奇函数，且在R上是增函数（2）求f(x)在[-2,4]上的最值

Answer 1

设函数f(x)的定义在R上的函数,且满足对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0,f(x)>0(1)求证：f(x)是奇函数，且在R上是增函数（2）求f(x)在[-2,4]上的最值
(1)证明：∵f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
取x=y=0有f(0)=2f(0)==>f(0)=0，
取y=-x有f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)(x∈R)==>f(x)+f(-x)=0(x∈R)
∴f(-x)=-f(x)(x∈R)，由x的任意性可知f(x)为奇函数
任取x1，x2∈(-∞，+∞)，且x1>x2
则x1-x2>0
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)>f(x2)
∴f(x)在(-∞，+∞)上为增函数．
(2)解析：∵f(x)为R上的增函数
∴f(x)在[-2,4]上的最大为f(4)，最小值f(-2)

Answer 2

(1): f(x+y)=f(x)+f(y) f(0+0)=f(0)=2f(0) f(0)=0
f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x) f(x)为奇函数
(2):设t>0 f(t)>0 f(x+t)=f(x)+f(t)>f(x) f(x)在R递增
f(x)max=f(4) f(x)min=f(-2)