Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；②当x＞0时

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＜0．（1）证明f（x）在R上是减函数；（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x 2 -4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当时x=y=0，f（0）=f（0）+f（0）， 得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x） ∴f（-x）=-f（x）∴f（x）在R上是奇函数， 设x 1 ＞x 2 ，则f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（-x 2 ） =f（x 1 -x 2 ）＜0 ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ）， ∴f（x）在R上是减函数（6分） （2）f（x 2 -4）-f（2x-2a）＞f（0）等价于 x 2 -4＜2x-2a即x 2 -2x+2a-4＜0（8分） 令g（x）=x 2 -2x+2a-4 根据题意， g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0 的实数a的取值范围为 2≤a＜ 5 2 ∴ a∈[2， 5 2 ) （12分）