Question

已知关于x一元二次方程(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长

（1）如果x=-1是方程的解，试判断△ABC的形状，并说明理由
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根

Answer 1

解：（1）△ABC是等腰三角形

理由：∵x=-1是方程的根

∴（a+c）×（-1）²-2b+（a-c）=0

∴a+c-2b+a-c=0

∴a-b=0

∴a=b

∴△ABC是等腰三角形

∵方程有两个相等的实数根

∴（2b）²-4（a+c）（a-c）=0

∴4b²-4a²+4c²=0

∴a²=b²+c²

∴△ABC是直角三角形

当△ABC是等边三角形

∴（a+c）x²+2bx+（a-c）=0

可整理为：

2ax²+2ax=0

∴x²+x=0

用配方法解一元二次方程

①把原方程化为一般形式。

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边。

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数。

⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

Answer 2

解:(1)△ABC是等腰三角形;
理由:∵x=-1是方程的根，
∴(a+c)×(-1)²-2b+(a-c)=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形;

∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)²-4(a+c)(a-c)=0，
∴4b²-4a²+4c²=0，
∴a²=b²+c²，
∴△ABC是直角三角形

当△ABC是等边三角形，∴(a+c)x²+2bx+(a-c)=0，
可整理为:
2ax²+2ax=0，
∴x²+x=0，
解得:x=0，x=-1.