Question

函数f（x）=a x-1 +3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，则

函数f（x）=a x-1 +3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，则 1 m + 4 n 的最小值是______．

Answer 1

当x=1时，f（1）=a 0 +3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）． ∵点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，∴m+4n=1． ∴ 1 m + 4 n = (m+4n)( 1 m + 4 n ) =17+ 4n m + 4m n ≥17+2×4× n m × m n =25，当且仅当m=n= 1 5 时取等号． ∴ 1 m + 4 n 的最小值是25． 故答案为25．