Question

函数f（x）=a^(x-1)+3(a>0且a≠1)的图像过一个点P,且点P在直线mx+ny-1=0（m>0且n>0）上,则1/m+4/n最小值?

Answer 1

解 函数f（x）=a^(x-1)+3(a>0且a≠1)的图像过一个定点P吧
当x=1时，a^(1-1)=a^0=1,即a^(x-1)+3=4，
即函数f（x）=a^(x-1)+3(a>0且a≠1)的图像过一个定点P（1，4）
由点P在直线mx+ny-1=0（m>0且n>0）上,
则m*1+n*4-1=0
即m+4n=1
故1/m+4/n
=（1/m+4/n）*1
=（1/m+4/n）*（m+4n）
=1+4n/m+4m/n+16
=17+4n/m+4m/n
≥17+2√（4n/m）*（4m/n）
=17+2√16
=17+8
=25
即1/m+4/n最小值为25。

Answer 2

易知P(1，4)，所以m+4n=1，又m>0，n>0，
所以，1/m+4/n=(1/m+4/n)(m+4n=17+4(n/m+m/n)≥17+8=25，
当且仅当m=n且m+4n=1，即m=n=1/4时，1/m+4/n取最小值25。

Answer 3

最小值为8