Question

设f（x）=a x +b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．（1）求f（x）的解析式；

设f（x）=a x +b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）的定义域为[-2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域．

Answer 1

（1）由f（0）=2，得b=1， 由f（x+1）=2f（x）-1，得a x （a-2）=0， 由a x ＞0得a=2， 所以f（x）=2 x +1． （2）由题意知，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）=2 x +1． 设点P（x，y）是函数h（x）的图象上任意一点，它关于直线y=x对称的点为P′（y，x），依题意点P′（y，x）应该在函数g（x）的图象上，即x=2 y +1， 所以y=log 2 （x-1），即h（x）=log 2 （x-1）． （3）由已知得y=log 2 （x-1）+2 x +1，且两个函数的公共定义域是[，2]， 所以函数y=g（x）+h（x）=log 2 （x-1）+2 x +1（x∈[，2]）． 由于函数g（x）=2 x +1与h（x）=log 2 （x-1）在区间[，2]上均为增函数， 因此当x=时，y=2-1， 当x=2时，y=5， 所以函数y=g（x）+h（x）（x∈[，2]）的值域为[2-1，5]．