Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E。（1）求证：AB=AC （2）求证：DE是

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E。（1）求证：AB=AC （2）求证：DE是⊙O的切线（3）若AB=10，∠ABC=30 0 ，求DE的长

Answer 1

证明：（1）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90 0 ∴AD⊥BC，又D是BC的中点 ∴AB=AC    （2）连OD，∵O、D分别是AB、BC的中点 ∴OD//AC   ∴∠ODE=∠DEC=90 0 ∴  DE是⊙O的切线       （3）∵AB=10，∠ABC=30 0 ，∴AD=5 ∵∠ABC=30 0 ∴ ∠ODB=30 0 ，∠ADO=60 0 ，∠ADE=30 0 DE=5cos30 0 = ∴DE的长为

（1）利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC； （2）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线．