Question

将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与

将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P．（1）当点F与AD的中点重合时（如图1）：①△AEF的边AE=______cm，EF=______cm，线段EG与BF的大小关系是EG______BF；（填“＞”、“=”或“＜”）②求△FDM的周长． （2）当点F在AD边上除点A、D外的任意位置时（如图2）：③试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；④当点F在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）①AE=3cm，EF=5cm；EG=BF，
设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，4²+x²=（8-x）²，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，
②解：如图1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴

EF

FM

＝

AE

DF

＝

AF

DM

，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，
∴

5

FM

＝

3

4

，FM＝

20

3

，

3

4

＝

4

DM

，DM＝

16

3

，
∴△FMD的周长=4+

20

3

+

16

3

=16；

（2）①EG=BF不会发生变化，
理由：证明：如图2，∵B、F关于GE对称，
∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG（AAS），
∴EG=BF，
②如图2，设AF=x，EF=8-AE，x²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4-

1

16

x2，
∵△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-

1

16

x2+x，（10分）
S=

AE+DG

2

×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4-

1

16

x2+4-

1

16

x2+x）=?

1

2

x2+4x+32，
S=?

1

2

(x?4)2+40，（0＜x＜8）
当x=4，即F与AD的中点重合时，S_最大=40．（12分）