Question

如图，已知在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2．（Ⅰ）

如图，已知在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2．（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面SBC；（Ⅱ）求直线SC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴SA⊥BC，
又∵∠ABC=90°即AB⊥BC
∵AB、SA?面SAB
∴BC⊥面SAB，
DSACB
又∵BC?面SBC
∴平面SAB⊥平面SBC，
（Ⅱ）解：连接AC
∵SA⊥平面ABCD
∴AC是SC在底面ABCD内的射影
∴∠SCA为直线SC与底面ABCD所成角，
∵AB=BC=2，∠ABC=90°
∴AC＝2

2

又∵SA=2
∴tan∠SCA＝

2

2 2

＝

2

2

，即直线SC与底面ABCD所成角的正切值为

2

2

．