Question

已知正项数列{an}满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2-an+1an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设

已知正项数列{an}满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2-an+1an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1an}的前n项积为Tn，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有Tn＞xnex．

Answer 1

（I）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0
∴an+1＝

?1± 1+4n(n+1)

2(n+1)

an＝

n

n+1

an（另解-a_n不合题意舍去），
∴

a2

a1

?

a3

a2

an

an?1

＝

1

2

，
即

an

a1

＝

1

n

，an＝

1

n

，n∈N+，
（II）由（I）得：T_n=n!，
当x＞0时，T_n＞

xn

ex

等价于xⁿ＜n!e^x  ①
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，要证x＜e^x，令g（x）=e^x-x，
则g′（x）=e^x-1＞0，
∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜e^x 成立；
②假设当n=k时，①式成立，即x^k＜k!e^x，那么当n=k+1时，
要证x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
令h（x）=（k+1）!e^x-x^k+1，则h′（x）=（k+1）!e^x-（（k+1）x^k
=（k+1）（k!e^x-x^k），
由归纳假设得：h′（x）＞0，
∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，
即x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
由①②即数学归纳法原理得原命题成立．