Question

若a1=1,对n∈N+,都有an>0,且nan+12=(2n-1)an+1an+2an2,求an的通项公式及前几项和S

1是前面a(n+1),an后面的2是平方的意思

Answer 1

分析：在递推公式中，依次令n=1，2，3代入式子计算，求a2，a3，a4，由特殊值的规律推导出一般关系式为an=n+1． 再按照数学归纳法步骤进行证明．
解答：解：根据题目给出的关系式可得：
n=1，a2=a12-a1+1=22-2+1=3，
n=2，a3=a22-2a2+1=32-2×3+1=4，
n=3，a4=a32-3a3+1=42-3×4+1=5，
由此可以猜测an=n+1．
下面用数学归纳法证明
当n=1时，a2=2=1+1，成立．
假设当n=k（k≥2）时成立．即ak=k+1，
那么当n=k+1时，ak+1=ak2-kan+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1
即当n=k+1时也成立．
所以an=n+1．
点评：本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力．

追问

若a1=1,对n∈N+,都有an>0,且nan+12=(2n-1)an+1an+2an2,求an的通项公式及前几项和S.(1是前面a(n+1),an后面的2是平方的意思)