Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=2m，若在这个四棱锥

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=2m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是______．

Answer 1

根据题意，球的最大半径是四棱锥P-ABCD的内切球半径，设这个半径为r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，
∴△PAD和△PCD都是直角边长为m的等腰直角三角形，
可得S_△PAD=S_△PCD=

1

2

m²
∵Rt△PAB中，PA=

2

m，AB=m，
∴S_△PAB=

1

2

PA?AB=

2

2

m²，同理可得S_△PCD=

2

2

m²
又∵S_ABCD=m²，∴四棱锥P-ABCD的表面积为S_表=S_△PAD+S_△PCD+S_△PAB+S_△PCD+S_ABCD=（2+

2

）m²
因此，四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×S_表×r=

1

3

（2+

2

）m²r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×S_ABCD×PD=

1

3

m³，
由此可得

1

3

（2+

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