Question

已知直线y=-12x+2和椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=25，直线OM的斜

已知直线y=-12x+2和椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=25，直线OM的斜率为12，求椭圆的方程．

Answer 1

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
则A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入方程并相减得：

y2?y1

x2?x1

=-

b2

a2

?

x1+x2

y1+y2

．
∴k_AB=-

b2

a2

?

x0

y0

=-

1

2

．③
又k_OM=

x0

y0

=

1

2

，④
由③④得a²=4b²．
由直线y=-

1

2

x+2和椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）得：x²-4x+8-2b²=0，
∴x₁+x₂=4，x₁?x₂=8-2b²．
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

5

2

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