Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点，M为线段AB的中点，且直线OM斜率为1/4

求1）椭圆的离心率

Answer 1

解：直线x+y-1=0
y=1-x代入x²/a²+y²/b²=1
b²x²+a²(1-x)²=a²b²
b²x²+a²x²-2a²x+a²-a²b²=0
(a²+b²)x²-2a²x+a²-a²b²=0
x1+x2=2a²/(a²+b²)
y1+y2=1-x1+1-x2=2-(x1+x2)=2-(2a²)/(a²+b²)=2b²/(a²+b²)
那么点M的坐标（a²/(a²+b²),b²/(a²+b²))
代入y=x/4
b²/(a²+b²)=a²/4(a²+b²)
a²=4b²
a²=b²+c²
a²=[（1/4）a²]+c²
c²=(3/4)a²
c²/a²=3/4
e²=3/4
e=√3/2

Answer 2

√5/2......a=2b.....e=c/a