Question

对于函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x?2)，x∈(2，+∞)，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都

对于函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x?2)，x∈(2，+∞)，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立，则实数k的取值范围是[98，+∞)．④函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；则其中所有真命题的序号是______．

Answer 1

①任取x₁、x₂∈[0，+∞），
当x₁、x₂∈[0，2]，|f（x₁）-f（x₂）|=|sinπx₁-sinπx₂|≤2，
当x∈（2，+∞），f（x）=

1

2

f（x-2）=（

1

2

）ⁿsinnπ，
综上都有任取x₁、x₂∈[0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，①正确；
②∵f（x）=

1

2

f（x-2），∴f（x+2k）=（

1

2

）^kf（x），∴f（x）=2^kf（x+2k）（k∈N^*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，②正确；
③对任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，则有k≥xf（x），|f（x）|≤1，当x→∞，xf（x）→∞，则实数k的取值范围是[

9

8

，+∞)错误．
④函数y=f（x）-ln（x-1）的定义域为（1，+∞），
当x=2时，y=sin2π-ln1=0，
而f（x）=sinπx是周期为2的类正线曲线；当x＞2时，f（x+2k）=（

1

2

）^kf（x），图象只发生振幅变化，
y=ln（x-1）为对数函数y=lnx图象向右平移1个单位得到，过定点（2，0），
做上述两函数图象可知：当1＜x＜2以及x＞2时两图象各有一交点，
则f（x）=有3个零点正确；
故答案为：①②④．