Question

（2012?福州） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．

（2012?福州） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=23，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
则AC平分∠DAB；

（2）解：
法1：如图2，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2

3

，∠1=30°，
∴AC=2CD=4

3

，
在Rt△ABC中，AC=4

3

，∠CAB=30°，
∴AB=

AC

cos∠CAB

=

4 3

cos30°

=8，
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=OA=

1

2

AB=4；

法2：如图3，连接CE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2

3

，
∴AD=

CD

tan∠DAC

=

2 3

tan30°

=6，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
又∵∠DEC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CD=2